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Esercizi a carattere logico-matematico
Esercizio N° 1
Valerio e Martina hanno scoperto di aver ereditato una piccola somma da un lontano parente venuto a
mancare da poco. Il testamento contiene le indicazioni sull’importo che spetta a ciascuno dei due ragazzi,
ovvero quanto segue:
“Vorrei che il doppio di quanto spetti a Martina sia pari al triplo di quanto spetti a Valerio; vorrei inoltre che il
doppio di quanto spetti a Valerio, sommato con il triplo di quanto spetti a Martina, sia pari a 13.000 euro.”
Qual è il valore complessivo VALTOT dell’eredità di Martina e Valerio?
La risposta può essere data imbastendo un piccolo sistema di equazioni di primo grado:
2M = 3V
2V + 3M = 13000
La cui soluzione ci porta a V=2000 e M=3000 e quindi VALTOT=5000
Esercizio N° 2
Dato un cassetto con 50 calzini bianchi e 50 calzini neri qual è il numero minimo NUMCALZINI di calzini da
estrarre per essere sicuri di averne almeno due dello stesso colore?
Il problema ha una piccola insidia che può essere superata provando tutte le possibili combinazioni di calzini. Infatti
- con l’estrazione di 1 calzino posso prendere 1 solo calzino, non raggiungo una coppia valida, ovvio. Scartata
- con l’estrazione di 2 calzini posso avere le seguenti possibilità:
- 1 calzino bianco ed 1 nero-> non andrebbe bene
- 2 calzini bianchi e 0 neri -> andrebbe bene
- 2 calzini neri e 0 bianchi -> andrebbe bene
Con 2 calzini quindi potrei pescare la coppia uguale ma non sarebbe il numero minimo di calzini estratti che assicura tale caso poiché esiste la chance di prendere un paio diversi.
- con 3 calzini estratti avrei:
- 3 bianchi e 0 neri
- 3 neri e 0 bianchi
- 2 bianchi e 1 nero
- 2 neri e 1 bianco
Questo è il numero minimo di calzini da estrarre NUMCALZINI=3: qualunque sia la sorte, ce ne sono almeno due uguale colore, non importa che siano due bianchi o due neri, basta che siano uguali!
Esercizio N° 3
Dato il seguente insieme A = {1, 2, 3, 4, 7, 32, 89, 145, 106, 33, 36, 39}, qual è il numero di possibili coppie
non ordinate di insiemi A1 e A2 tali che |A1| = |A2| (dove con |X| si intende il numero di elementi contenuti
nell’insieme X), A1 ∪ A2 = A, A1 ∩ A2 = Ø e somma(A1) = somma(A2) (dove somma(X) è la somma di tutti
gli elementi nell’insieme X)? Indicare quella corretta fra le seguenti:
(a) 212
(b) 26
(c) 0
(d) 4
Il primo elemento da cui partire è che dobbiamo trovare due sottoinsiemi il cui numero di elementi sia uguale al gemello e che assieme coprano tutti gli elementi dell’insieme di partenza. Quindi non possiamo che scegliere una coppia di 6 elementi, |A1| = 6 e |A2|=6. Non potrei prendere gruppi da 5, in quanto coprirei 10 dei 12 elementi dell’insieme di partenza. Idem per gruppi più piccoli. Il problema ora sta nel soddisfare il criterio della somma degli elementi, ovvero 6 di questi presi a caso devono avere somma pari alla somma dei restanti. Come le posso scegliere? In generale con 12 elementi, volendo disporli a 6 senza ripetizione dovrei calcolare il coefficiente binomiale (12 6)= 924 possibili combinazioni. Un po’ troppe da valutare a mano con le rispettive somme. Occorre un’altra strategia. La somma di tutti gli elementi di somma(A) = 497 Questo implica che qualsivoglia siano i sottoinsiemi, ognuno dei due dovrebbe avere somma pari alla metà, ma 497 / 2= 248,5 un numero decimale! Quindi la risposta corretta è (c) 0
Esercizio N° 4
Un numero naturale è palindromo se letto in senso inverso è identico a sé stesso; ad esempio, 151 e 17271
sono numeri palindromi. Un numero naturale n si dice palizero se ha un numero dispari di cifre, è palindromo
e la cifra che appare una sola volta al centro è lo 0. Es. 1234567890987654321 è palizero, 3980893 è palizero,
23732, 23400432 e 124421 sono palindromi ma non palizeri.
Si dica quanti sono i numeri palizeri compresi tra 103 e 105 estremi esclusi, scegliendo una tra le seguenti
alternative.
(a) 102
(b) 10 * 9
(c) 102 + (103) * 2
(d) 10 * 9 + 9
Il problema è apparentemente complesso perché ha numeri elevati. 103 sarebbe da 1000 in poi ma già questa fascia possiamo escluderla perché non avrebbe elemento centrale, da 1000 a 9999. Stesso discorso per l’estremo 105, 100000. Vuol dire che tutti i numero che cerchiamo sono nel range 10000 a 99999 ma con obbligo di forma: a b c b a con c =0 ovvero a b 0 b a Come posso scegliere a e b? a non posso sceglierlo come zero, quindi ha 9 combinazioni, mentre b ne ha 10, ovvero il numero totale di combinazioni è c(a)*c(b)=9*10, risposta (b)
Esercizio N° 5
Due treni sono sullo stesso binario e viaggiano uno verso l’altro; la distanza iniziale tra di loro è di 300 km; il
primo treno viaggia a 80km/h, il secondo a 70km/h. Un velocissimo colibrì, che vola a 120km/h, parte dalla
locomotiva del primo treno e arriva a toccare la locomotiva del secondo, a quel punto si gira e torna indietro
fino a toccare la locomotiva del primo, dove si gira e torna indietro e così via finché i due treni si scontrano.
Quanti chilometri ha percorso, complessivamente, il colibrì?
(a) 160
(b) 200
(c) 240
(d) 30
E’ un classico problema basato sul celebre indovinello di Von Neuman.
Le equazioni da impostare in generale per individuare lo scontro dei due treni sono s(A)=80t e s(B)=300-70t se s(A)=s(B) si ha lo scontro ovvero con t= 2 h (ore) cioè i due treni si scontrano dopo 2 ore, dove il primo treno ha percorso 80*2=160 km e il secondo 70*2=140km. Dobbiamo impostare un discorso analogo per il nostro amico pennuto. Il primo urto s(C)=120t e s(B)= 300 – 70t ci da t=30/19 h per calcolare il ritorno del pennuto dobbiamo capire la situazione dei due treni dopo 30/19 di ora.
s(A)=80km/h * 30/19 h=2400/19 km percorsi mentre s(B)=s(C)= 120 km/h *30/19 =3600/19 km che sono circa 189km percorsi al primo giro.
Potremmo andare avanti per tutto il sistema ma, come per molti indovinelli di queste competizioni, non serve inalberarsi nei conti, qui anche un po’ complicati. In realtà i due treni si scontrano dopo due ore. Lo abbiamo trovato subito, all’inizio di questa soluzione. Vuol dire che il colibrì andrà avanti e dietro in modo lineare per 2 ore! Quindi s(C)=120t con t=2 ci da proprio la soluzione (c) 240km!
Esercizi di programmazione
Esercizio N° 6
L’esercizio è abbastanza semplice: basta provare i valori numerici delle risposte nelle opportune variabili e seguire il flusso delle condizioni. L’unica risposta insidiosa è quella della circonferenza. In effetti l’equazione della circonferenza è x2+y2=r2 che nel nostro caso è proprio par12 + par22 = par32 ovvero il 3 ramo condizionale che però è espressa con radiceQuadrata(par12+par22) < par3 che però stecca nel caso di par3 negativo.
Esercizio N° 7
Interessante come in pochi istanti ci si accorga come nella domanda si chieda l’evoluzione del vettore v che, in realtà, non viene toccato dai primi tre cicli while della procedura.
TO DO
Esercizi a carattere algoritmico
TO DO
Tracce ufficiali
Ultima modifica 18 Novembre 2023
